4.1 Propagazione delle pertubazioni
4.2 Condizioni critiche nelle correnti a superficie libera
4.3 Lo schema di moto permanente
4.3.1 Moto gradualmente variato
4.6.1 Cambio di pendenza dell’alveo
4.6.2 Passaggio attraverso le pile di un ponte
4.6.3 Passaggio sopra una traversa
Figura 4.1 – Propagazione di una piccola perturbazione (c) in a) uno specchio liquido, b) in una corrente uniforme dotata di velocità media U.
Se in un corso d’acqua, o in uno specchio d’acqua, si genera il momentaneo sopraelevamento (oppure abbassamento) di un certo volume liquido sopra il livello preesistente (per esempio, a causa della manovra di una paratoia, oppure per la caduta di un corpo), tale alterazione della superficie libera tende a propagarsi e quindi a trasferire nelle porzioni adiacenti della massa liquida l’avvenuta perturbazione.
Con riferimento alla Figura 4.1, la caduta di un corpo in un punto O all’interno dello specchio liquido (acqua in quiete) genera una perturbazione che si propaga in modo simmetrico rispetto all’origine con una celerità, c, che si dimostra essere pari a
(formula 4.1) c = √gy
Con riferimento alla Figura 4.1b, consideriamo una corrente in moto uniforme con velocità media U e altezza d’acqua y.
Ipotizziamo a un certo istante t=t0 di perturbare il livello liquido nella sezione 2. Tale perturbazione può propagarsi sia verso monte sia verso valle con una celerità fornita dalla formula 4.1. Occorre tuttavia considerare che in tal caso, a differenza dello specchio liquido ove l’acqua è ferma, la perturbazione si propaga in una corrente di velocità U.
Rispetto alle sponde fisse, la celerità assoluta verso valle, c1, sarà quindi pari a:
(formula 4.2) | c1 | = |U + c | = | U + √gy |
mentre la celerità assoluta verso monte, c2, sarà pari a :
(formula 4.3) | c2 | = | U - c | = | U - √gy |
È evidente che risulterà sempre c1 > c2;.
Inoltre la formula 4.3 indica che la celerità c2 è diversa da zero solo se si verifica la condizione:
U < √gy
In questo caso la dinamica della propagazione con origine in O è illustrata nella Figura 4.2a
. In caso contrario, quando cioè la velocità della corrente U è tale per cui:
U > √gy
la perturbazione non può risalire verso monte e, pertanto, riesce a propagarsi solo verso valle (Figura 4.2b).
Figura 4.2 – Schema di propagazione delle perturbazioni in correnti a superficie libera.
I video qui sotto mostrano la propagazione delle perturbazioni sia nel caso di unidimensionale sia in quello bidimensionale.
Animazione sulla propagazione delle perturbazioni del pelo libero in una corrente
Esperimento di sulla propagazione delle perturbazioni del pelo libero in una corrente
(tratto da collana di video didattici di Rouse http://www.iihr.uiowa.edu/products/dhrm.html)
Pertanto, una perturbazione non può propagarsi verso monte se si verifica la condizione:
U > √gy oppure: 
> 1
dove con Fr si indica il Numero di Froude, ossia il rapporto tra velocità della corrente e celerità di propagazione delle perturbazioni, in particolare la corrente è denominata:
LENTA quando Fr < 1
(formula 4.4) VELOCE quando Fr > 1
CRITICA quando Fr = 1
In una corrente lenta le perturbazioni possono propagarsi sia verso monte sia verso valle. In una corrente veloce o critica le perturbazioni possono propagarsi solo verso valle.
Nelle correnti a superficie libera si può individuare una condizione critica caratterizzata dal fatto che, in corrispondenza di questa, le grandezze del moto assumono valori e significato specifici. In particolare, nella condizione per cui si verifica:
Fr = 1
la corrente si dice critica ed è caratterizzata da:
la velocità critica Ucr , che coincide pertanto con la velocità di propagazione delle perturbazioni:
Fr = 1 → Ucr = √gycr
l’altezza (o profondità) critica, ycr, cioè l’altezza d’acqua che si verifica quando il numero di Froude è uguale a 1. In particolare, per sezione rettangolare, utilizzando l’equazione di continuità, si ottiene:
Q = Ucr Bycr = √gycrBycr
dalla quale si ricava:
ycr = 
espressione che fornisce il valore dell’altezza critica in funzione della portata e della larghezza della sezione.
Le condizioni poste dalle formule 4.4 possono esprimersi nella seguente forma del tutto equivalente:
CORRENTE LENTA quando ycr < y
(formula 4.5) CORRENTE VELOCE quando ycr > y
CORRENTE CRITICA quando ycr = y
La definizione di altezza critica può essere ricavata anche attraverso considerazioni energetiche della corrente riferite alla specifica sezione.
Si utilizza infatti il concetto di energia specifica, E, vale a dire il carico totale della corrente misurato a partire dal fondo della sezione in esame (figura 4.3
):
(formula 4.6) E = y + α
= y + α
α è un coefficiente che dipende dalla effettiva distribuzione della velocità nel piano della sezione. Per sezioni compatte può essere assunto pari a 1.
Figura 4.3 – L’energia specifica.
Ragionando a portata costante, la formula 4.6 rappresenta un legame funzionale tra energia specifica e altezza d’acqua.
= y + αÈ immediato osservare che la funzione E=E(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.
A titolo di esempio, si riporta nella figura 4.4
l’andamento della funzione E=E(y) per una stessa portata (Q = 50 m3/s) e relativamente a due sezioni rettangolari di larghezza 20 m e 10 m. Si osserva che, a portata costante, l’energia specifica ha un minimo proprio in corrispondenza dell’altezza critica di ciascuna sezione. Inoltre, tutti i punti della curva a sinistra della ycr sono caratteristici delle correnti veloci, quelli a destra delle correnti lente.
La pendenza critica, icr, è definita come la pendenza dell’alveo in corrispondenza della quale, per una data portata, l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme coincidono.
Se l’alveo è dotato di pendenza if > icr allora per la data portata l’altezza yu del moto uniforme sarà minore di quella critica (corrente veloce). L’alveo in tal caso viene definito alveo torrentizio.
Viceversa, se if < icr allora, sempre per la data portata, il moto uniforme si realizza con un’altezza d’acqua maggiore di quella critica (corrente lenta). In tal caso l’alveo viene definito alveo fluviale.
Figura 4.4 - Relazione (E-y) per due sezioni rettangolari aventi diverse larghezza B per lo stesso valore di portata (Q = 50 m3/s).
La pendenza critica si ricava pertanto utilizzando la formula del moto uniforme nelle condizioni critiche, cioè:
U = C V*
che in termini di portata si scrive:
Q = ΏU = Ώ C V* = 
Ricavando la pendenza if e imponendo le condizioni critiche si ottiene (per alveo rettangolare largo):
poichè il coefficiente adimensionale di Chezy risulta di norma compreso tra 8 e 15, la pendenza critica risulta compresa tra i valori
ifcr = 0.015 
0.005
oppure, in termini percentuali:
ifcr = 1.5% 0.5%
Si noti che la pendenza critica risulta funzione della portata; risulta infatti che icr diminuisce all’aumentare della portata. Ne consegue che un alveo di assegnata pendenza if può mutare carattere al variare della portata, in particolare può trasformarsi da fluviale in torrentizio al crescere della portata.
Il moto uniforme, come detto, può manifestarsi soltanto in un alveo declive con caratteristiche geometriche e di scabrezza “uniformi”, cioè invarianti nello spazio (alveo cilindrico).
Quando l’alveo non è declive, oppure non è cilindrico, oppure in un alveo declive e cilindrico in una generica sezione si produce una variazione di altezza d’acqua rispetto a quella del moto uniforme, allora si manifesta il moto permanente.
Con riferimento allo schema di figura 4.5
, l’equazione generale del moto permanente si scrive nella forma differenziale:
(formula 4.6) 
Figura 4.5 – Schema di moto permanente
ove i simboli indicano:
H = carico totale della corrente nella generica sezione
x = coordinata spaziale lungo l’alveo, positiva verso valle
J = perdita di carico totale per unità di percorso della corrente
La formula 4.7 indica in sostanza che il carico totale della corrente diminuisce sempre nel verso della corrente. La diminuzione del carico totale dipende dalle perdite energetiche che la corrente subisce nel suo procedere verso valle.
La formula 4.7 è valida per moto gradualmente variato (gradually varied flow), ove le variazioni di velocità avvengono gradualmente tra sezione e sezione, le linee di corrente possono ritenersi approssimativamente parallele alla direzione principale della corrente, e la distribuzione delle pressioni può essere assunta idrostatica.
In tale condizioni si assume inoltre che le perdite energetiche, di tipo distribuito, siano stimabili con le formule valide per il moto uniforme.
La formula 4.7 viceversa non è valida per condizioni di moto rapidamente variato (rapidly varied flow) in cui variazioni di profondità, di larghezza e quindi di velocità della corrente si manifestano in brevi tratti del corso d’acqua. Le linee di corrente mostrano in tal caso forti curvature, la distribuzione delle pressioni non è più idrostatica, e le perdite energetiche sono principalmente prodotte da fenomeni localizzati (salti di fondo, briglie, risalto idraulico, restringimenti e allargamenti di sezione).
Nel moto gradualmente variato, la dissipazione energetica è dovuta essenzialmente alle perdite di tipo distribuito, vale a dire alla perdite prodotte dalle azioni tangenziali che si manifestano all’interno della corrente e nel contatto con l’alveo.
Quando il moto è gradualmente variato è lecito esprimere le perdite distribuite con le formule valide per il moto uniforme. La perdita J può pertanto porsi (vedi Capitolo 3):
(formula 4.8) 
La formula 4.7 , sostituendo i termini del carico totale H diventa:
(formula 4.9) 
Sviluppando la derivata formula 4.9, tenendo conto della formula 4.8 e considerando alvei cilindrici, si ottiene l’espressione:
(formula 4.10) 
Il primo membro della formula 4.10 rappresenta la variazione dell’altezza d’acqua rispetto alla ascissa x, lungo il percorso della corrente.
Lo studio di tale derivata ci consente di derivare, almeno in forma qualitativa, i profili che si possono stabilire in una corrente in moto permanente in un alveo cilindrico.
Quest’ultima ipotesi, fatta esclusivamente per consentire un’analisi diretta della equazione espressa dalla formula formula 4.10, può essere tranquillamente rimossa adottando la forma generale dell’equazione del moto espressa dalla formula 4.7, valida per qualunque geometria dell’alveo (purché ovviamente siano sempre rispettate le ipotesi di moto gradualmente variato e permanente).
Lo studio della formula 4.10 può essere svolto considerando il segno che il denominatore e il numeratore assumono per i vari valori della profondità y.
Si osserva comunque che il denominatore può annullarsi quando:
(formula 4.11) 
oppure Fr = 1
Entrambi le condizioni, del tutto equivalenti, indicano che il denominatore della 4.10 tende ad annullarsi quando l’altezza d’acqua tende al valore critico ycr.
Questa condizione rappresenta una singolarità di tipo matematico che tuttavia è associata a fenomeni fisici importanti nello studio delle correnti a superficie libera. Come vedremo infatti, le condizioni di attraversamento dell’altezza critica possono significare la presenza di un risalto idraulico, fenomeno che sarà studiato più avanti.
La formula 4.10 non ci consente infatti di studiare tali fenomeni: via via che la profondità d’acqua tende al valore critico, le variazioni della stessa altezza d’acqua tendono a diventare grandissime in breve spazio. In tale condizione la formula 4.9 tende a perdere di validità in quanto derivata sotto l’ipotesi di moto gradualmente variato.
Lo studio della formula 4.10 porta ai profili rappresentati nelle figura 4.6 link 8.
PROFILI DI MOTO PERMANENTE
Figura 4.6 – Profili di moto permanente
Negli alvei declivi fluviali, oltre al profilo di corrente uniforme, si distinguono 3 profili: F1, F2 e F3.
Il profilo F1 è caratterizzato da una corrente con profondità maggiore di quella uniforme. Il livello imposto a valle costituisce la condizione al contorno relativa a questo profilo di corrente lenta che si raccorda al moto uniforme asintoticamente verso monte. La corrente in tal caso risulta ritardata essendo caratterizzata da profondità (velocità media) crescenti (decrescenti) verso valle.
Nel profilo F2 la profondità della corrente è compresa tra la profondità critica e quella di moto uniforme. Il profilo risulta pertanto di corrente lenta e si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a valle per poi raccordarsi con la profondità di moto uniforme a monte. La corrente risulta accelerata essendo caratterizzata da profondità (velocità media) decrescenti (crescenti) verso valle.
Nel profilo F3 la profondità è inferiore a quella critica. Questo profilo risulta l’unico profilo di corrente veloce in un alveo fluviale. Il profilo si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a monte per poi tendere alla profondità critica con un asintoto verticale. La corrente risulta ritardata.
Negli alvei declivi torrentizi, oltre al profilo di corrente uniforme, si distinguono 3 profili: T1, T2 e T3.
Nel profilo T1 la profondità della corrente è ovunque maggiore di quella critica. La corrente è pertanto lenta, si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a valle per poi tendere alla profondità critica a monte con un asintoto verticale. La corrente risulta ritardata essendo caratterizzata da profondità (velocità media) crescenti (decrescenti) verso valle. Si noti che questo profilo costituisce l’unico profilo di corrente lenta in un alveo torrentizio.
Nel profilo T2 la profondità della corrente è compresa tra la profondità di moto uniforme e la profondità critica. Il profilo è di corrente veloce, si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a monte e si raccorda verso valle con la profondità di moto uniforme. La corrente risulta accelerata.
Nel profilo T3 la profondità è ovunque inferiore alla profondità di moto uniforme. Il profilo è di corrente veloce, nasce da un tirante inferiore alla profondità di moto uniforme imposto a monte e si raccorda alla profondità di moto uniforme verso valle. La corrente risulta ritardata.
Gli alvei orizzontali o acclivi non hanno una profondità di moto uniforme; quest’ultima tende ad assumere valori infinitamente grandi quando if tende a 0. I profili al di sopra della profondità critica (H1 e A1) sono di corrente lenta, si sviluppano a partire da un livello imposto a valle maggiore di quello relativo alla profondità critica e crescono verso monte in modo analogo a quanto visto nel profilo F2. I profili al di sotto della profondità critica (H2 e A2) sono di corrente veloce, si sviluppano a partire da un livello imposto a monte minore a quello relativo alla profondità critica, e crescono verso valle tendendo asintoticamente alla profondità critica in modo analogo a quanto osservato per il profilo F3.
Si veda il video didattico per una dimostrazione sperimentale sui profili di rigurgito in moto permanente.
Video su esperimenti didattici sui profili di moto permanente
I profili di moto permanente rappresentati nella figura 4.6 derivano dall’equazione della formula 4.7 che rappresenta un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Tali profili sono stati definiti solo come andamento qualitativo che la corrente potrebbe assumere in diverse condizioni di moto.
Il tracciamento quantitativo del profilo della corrente dipende da come vengono specificate queste “condizioni di moto”.
In termini matematici ciò si traduce nell’assegnare alla equazione della formula 4.7 le “condizioni al contorno” che permettono di integrare l’equazione e determinarne la soluzione specifica per le condizioni imposte.
In termini fisici, le condizioni di moto sono determinate, per un determinato tratto fluviale, da:
• la portata in ingresso al tratto fluviale
• l’altezza d’acqua che si instaura in corrispondenza della “causa perturbatrice” del moto uniforme.
Nelle correnti veloci la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti solo verso valle. In questo tipo di correnti, l’altezza d’acqua “diversa da quella del moto uniforme” viene determinata a monte del tratto fluviale in esame, insieme all’altra condizione rappresentata dalla portata.
La risoluzione dell’equazione della formula 4.7 viene ottenuta in tal caso procedendo da monte verso valle (si vedano le lezioni successive per lo studio delle metodologie applicative).
Nelle correnti lente la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti sia verso monte sia verso valle. Poiché verso valle risulta già definita una condizione (la portata), la corretta soluzione dell’equazione della formula 4.7 si ottiene considerando gli effetti della causa perturbatrice verso monte e quindi risolvendo la formula 4.7 procedendo da valle verso monte.
Riassumendo: il tronco fluviale oggetto di simulazione in moto permanente è delimitato da una sezione iniziale a monte e da una sezione finale a valle. La condizione di portata (costante per tutto il tronco) viene posta nella sezione di monte. La condizione di livello (o di altezza d’acqua) viene posta nella sezione di monte se la corrente è veloce, nella sezione di valle se la corrente è lenta.
La procedura numerica di risoluzione della formula 4.7 procederà quindi in direzione monte – valle se la corrente è veloce (propagazione delle perturbazioni verso valle), in direzione valle – monte se la corrente è lenta (propagazione delle perturbazioni verso monte).
L’equazione differenziale della formula 4.7 viene risolta per via numerica. A questo scopo esistono diversi codici di calcolo commerciali tra i quali HEC-RAS predisposto dell’US Army Corps of Engineers e scaricabile gratuitamente dal sito.
Non considerando per il momento gli aspetti numerici, i requisiti fondamentali per una corretta risoluzione dell’equazione di moto permanente sono i seguenti.
- Adeguata descrizione geometrica dell’alveo oggetto di studio, ottenuta mediante il rilievo di un numero sufficiente delle sezioni fluviali affinché l’assetto plano-altimetrico del corso d’acqua sia efficacemente rappresentato (occorre rilevare le variazioni significative di sezione, i restringimenti indotti da opere quali ponti, muri di sponda, manufatti vari, i salti di fondo, etc...).
- Adeguata attribuzione del coefficiente di scabrezza prevedendone la eventuale differenziazione per diverse parti dell’alveo e/o della sezione per la valutazione delle perdite distribuite.
- Eventuali variazioni “rapide” di forma dovranno essere associate a dissipazioni localizzate da stimare con i criteri esposti in seguito.
- Corretta individuazione della “condizione al contorno” rappresentata dal livello o dall’altezza d’acqua in una delle due sezioni di estremità del tratto.
Sulla base delle sezioni trasversali rilevate, l’alveo risulta così suddiviso in tronchi elementari compresi tra due sezioni consecutive, che indicheremo con (i) la sezione di monte e (i+1) quella di valle. La loro distanza, misurata lungo la progressiva x, viene indicata con Δxi, i+1 (figura 4.7
).
Figura 4.7 – Tratto di corrente in moto permanente gradualmente variato
Dalla formula 4.7 si può calcolare la variazione di carico totale Δxi, i+1, approssimando la stessa equazione nella forma alle differenze finite:
(formula 4.12) Δxi, i+1 = - [ j ] Δxi, i+1
Le perdite distribuite possono essere stimate con la formula del moto uniforme (eq. 3.7):
per cui la formula 4.12 diventa:
(formula 4.13) 
Si ottiene così il carico totale nella sezione i+1 :
(formula 4.14) Hi+1 = Hi + ΔHi, i+1
Dalla formula 4.14 si ricava il carico piezometrico h i+1 che, come noto, rappresenta la quota della superficie libera rispetto al piano di riferimento, risolvendo l’equazione:
(formula 4.15) Hi+1 = h i + 
Figura 4.8 – a) Salto di fondo con livello a valle Ym inferiore al livello dell’altezza critica ycr
Figura 4.8 - b) Salto di fondo con livello a valle Ym maggiore di quello della ycr ma inferiore a quello della yu.
Figura 4.8 - c) Salto di fondo con livello a valle Ym maggiore di quello della yu.
Il salto di fondo rappresentato nella figura 4.8
costituisce un disturbo per la corrente in quanto modifica (o non consente) l’altezza di moto uniforme. Se consideriamo una corrente che a monte del salto scorre in un alveo fluviale (cioè con pendenza del fondo inferiore alla pendenza critica, if<icr) e il livello a valle del salto è inferiore al livello dell’altezza critica per la portata data (figura 4.8a), allora il livello del ricevente, Ym, non influenza il moto a monte. Nella sezione in prossimità del salto si stabilisce l’altezza critica per la portata data, che transita così con la minima energia specifica (vedi figura 4.4).
Tale condizione, e tutte quelle per le quali le altezze idriche nel ricevente sono inferiori a Ym, sono dette di salto libero e il profilo che ne deriva è del tipo F2. La distanza Ar viene detta ampiezza di rigurgito.
Se il livello Ym nel ricevente aumenta e supera il livello dell’altezza critica, la corrente a monte continua a raggiungere il ricevente con un profilo tipo F2 diminuendo tuttavia la distanza Ar. Tale distanza tende ad annullarsi nel caso particolare in cui il livello Ym coincide con il livello dell’altezza di moto uniforme, yu (figura 4.8b).
Una volta superato anche il livello della yu, a monte si genera un profilo di rigurgito tipo F1, che si estende a monte per una distanza (in teoria infinita) Ar (figura 4.8c).
Nella figura 4.9
è riportato il caso dello sbocco di un serbatoio (per esempio un lago naturale, un invaso artificiale) in un alveo a valle di tipo fluviale (figura 4.9a
) e di tipo torrentizio (figura 4.9b
).
Nel primo caso la corrente che si instaura a valle dello sbocco è una corrente lenta che risente delle caratteristiche dell’alveo a valle (sezione, pendenza, scabrezza) per trovare l’altezza di moto uniforme conseguenti. La portata scaricata in tal caso dipende sia dal livello nel serbatoio di monte, sia dalle caratteristiche dell’alveo a valle.
Nel caso dello sbocco in un alveo torrentizio, la corrente tenderà ad assumere un’altezza di moto uniforme che, per definizione, è minore dell’altezza critica. In prossimità della sezione iniziale la corrente è libera di far transitare la massima portata compatibile con il livello nel serbatoio raggiungendo la altezza critica. Da qui tende al moto uniforme in corrente veloce con un profilo del tipo T2.
Figura 4.9 - a) Sbocco da serbatoio in alveo fluviale
Figura 4.9 - b) Sbocco da serbatoio in alveo torrentizio
Nel caso di moto permanente rapidamente variato, le altezze d’acqua e quindi le velocità subiscono variazioni significative in spazi relativamente brevi dell’alveo (ordine di grandezza della larghezza media dell’alveo).
In queste condizioni l’equazione della formula 4.7 non è più valida. Inoltre, le perdite distribuite sono di norma trascurabili rispetto alle dissipazioni localizzate.
Il moto rapidamente variato è in generale associato a brusche variazioni della geometria dell’alveo e può suddividersi in:
- moto rapidamente decelerato (bruschi allargamenti di sezione, risalto idraulico)
- moto rapidamente accelerato (salti di fondo, traverse).
In generale si può assumere che nel moto rapidamente accelerato le perdite energetiche siano trascurabili. Per esempio, nel caso del deflusso sopra lo scivolo di una traversa, si può, in via approssimata, ritenere trascurabili le perdite e considerare il carico totale costante tra la sezione di monte (Hm) e la sezione al piede della traversa (Hv) (figura 4.10).
Figura 4.10 – Deflusso sopra una traversa
Ciò non è più lecito nel caso di moto rapidamente decelerato. Nel caso di brusche espansioni, la perdita localizzata può essere quantificata con la formula di Carnot:
(formula 4.16) 
che esprime la perdita di carico totale tra le sezioni 1 e 2, ΔH1-2, in funzione della differenza delle velocità tra monte e valle (figura 4.11).
Figura 4.11 – Perdita energetica per brusca espansione
Il passaggio di una corrente dallo stato veloce a monte a quello lento a valle si manifesta attraverso una discontinuità del profilo della superficie libera detta risalto idraulico (si veda anche wikipedia).
Il risalto può presentarsi con forme diverse in relazione al valore del numero di Froude della corrente di monte. In particolare se la corrente di monte è caratterizzata da un Froude inferiore a circa 1.7, il risalto si manifesta attraverso una serie di ondulazioni della superficie libera. In caso contrario si realizza il salto diretto o salto di Bidone costituito dalla formazione di un vortice ad asse orizzontale (roller) (figura 4.12
) che dissipa una quantità di energia non trascurabile. Sulla superficie del vortice le particelle d’acqua si muovono nel verso generalmente opposto a quello della corrente continuando a trascinare all’interno del vortice bolle d’aria che si liberano a valle.
Il risalto si localizza quando la spinta totale associata alla corrente veloce in arrivo da monte è uguale alla spinta totale della corrente lenta di valle. La spinta totale S della corrente in una sezione è definita come la somma della spinta idrostatica, pari al prodotto tra la pressione idrostatica nel baricentro della sezione e la superficie della sezione stessa, e del flusso della quantità di moto, quest’ultimo pari a ρQU. In un alveo a sezione rettangolare la spinta totale assume la seguente espressione:
(formula 4.17) 
Figura 4.12 – Il risalto idraulico diretto
Si noti che la grandezza spinta totale ha le dimensioni di una forza.
Ragionando a portata costante, la formula 4.17 rappresenta un legame funzionale tra energia specifica e altezza d’acqua.
Analogamente a quanto visto per la funzione carico specifico E(y) a portata fissata, la funzione S=S(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.
Figura 4.13 – La funzione spinta totale per portata assegnata.
L’andamento qualitativo della funzione S=S(y) per portata assegnata, è illustrato in figura 4.13. Il risalto si localizza dove la spinta totale della corrente di monte Sm uguaglia la spinta totale di valle Sv; in queste condizioni ym e yv rappresentano la profondità della corrente nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del risalto (figura 4.12). Le profondità ym e yv sono dette altezze coniugate del risalto.
Nel caso di un alveo a sezione rettangolare le altezze coniugate del risalto si dimostrano essere legate dalla seguente relazione:
(formula 4.18) 
dove Frm rappresenta il numero di Froude della corrente in arrivo da monte nella sezione di profondità ym.
La lunghezza del risalto può, in prima approssimazione, ritenersi pari a circa 6(yv-ym).
Esempi di risalto idraulico sono illustrati nei seguenti video.
Video di esempio di risalto idraulico a valle di una traversa.
Figura 4.14 - Passaggio da un alveo fluviale ad un alveo torrentizio
Figura 4.15 a,b – Passaggio da un alveo torrentizio ad un alveo fluviale
Il deflusso della corrente in alveo costituito da due tronchi cilindrici di uguale sezione trasversale ma di diversa pendenza è illustrato nelle figura 4.14, figura 15. Lo studio viene affrontato in assenza di controlli al contorno del tratto in esame.
Nel caso in cui si realizzi il passaggio da un alveo fluviale a uno torrentizio (figura 4.14), la corrente passa gradualmente dal regime lento a quello veloce transitando attraverso la profondità critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza. Si noti che nell’alveo fluviale si realizza un profilo F2, mentre in quello torrentizio si realizza un profilo T2; la condizione al contorno relativa a entrambi i profili è costituita dalla profondità critica.
Nel caso di passaggio da un alveo torrentizio a un alveo fluviale (figura 15) si assiste all’incontro tra una corrente veloce a monte e una lenta a valle. Questo passaggio avviene a mezzo di un risalto idraulico che si localizza nella sezione dove avviene l’uguaglianza delle spinte totali.
Nella figura 15a
la spinta totale associata al moto uniforme nel tronco di valle è maggiore della spinta totale relativa al moto uniforme nel tronco di monte. Il risalto infatti avviene nel tronco di monte. Si noti la formazione di un profilo T1 di corrente lenta proveniente da valle nel tratto torrentizio, che si raccorda a mezzo di un risalto con il profilo di moto uniforme di tipo veloce proveniente da monte.
Nel caso in cui la spinta totale della corrente in moto uniforme nel tronco di monte sia maggiore di quella relativa alla corrente di valle, il risalto si localizza nel tratto di valle (figura 15b
). Si noti la formazione di profilo di corrente veloce F3 nel tratto fluviale.
Figura 4.16 a,b,c – Il passaggio attraverso le pile di un ponte, restringimento ‘debole’
Il restringimento provocato dalle pile di un ponte in un alveo cilindrico può considerarsi debole se la corrente è in grado di defluire attraverso le pile senza attraversare lo stato critico. Per semplicità lo studio viene affrontato nell’ipotesi che il passaggio tra le pile avvenga senza sensibile dissipazione di energia. Lo studio viene inoltre affrontato in assenza di controlli al contorno del tratto in esame. Occorre distinguere due sottocasi.
i) Il caso di restringimento ‘debole’.
Nel caso di alveo fluviale (figura 4.16a
), in assenza di controlli da valle, la corrente si presenta nel tratto soggetto a restringimento in moto uniforme di carico specifico Eu.
Il restringimento provoca un aumento della portata per unità di larghezza; ne consegue un aumento dell’energia minima necessaria per far defluire la portata assegnata tra le pile del ponte (figura 4.16c
). Se il restringimento della sezione è ‘rilevante’ può accadere che il carico Eu sia insufficiente per superare l’ostacolo, in tal caso si parla di restringimento ‘forte’.
In particolare il restringimento è debole se viene soddisfatta la seguente condizione:
(formula 4.19) 
dove br rappresenta la larghezza della sezione rettangolare ridotta nel tratto occupato dalle pile del ponte.
Nel caso in cui venga soddisfatta questa condizione, nel tronco ristretto la corrente diminuisce la profondità mantenendosi nello stato lento (figura 4.16a,c).
Nel caso di alveo torrentizio (figura 4.16b
), se viene soddisfatta la condizione della formula 4.16, la corrente sperimenta un aumento della profondità nel tratto a sezione ridotta mantenendosi però ovunque veloce (figura 4.16b,c).
ii) Il caso del restringimento ‘forte’
Se il restringimento è rilevante la corrente non è in grado di defluire attraverso le pile del ponte con i valori del carico specifico imposti dal moto uniforme. In questi condizioni la corrente deve risparmiare energia al fine di poter presentarsi nel tratto ristretto con il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata.
Il deflusso avviene nel tronco ristretto attraverso il passaggio delle condizioni critiche; immediatamente a monte si realizza un innalzamento dei livelli che dà origine ad un profilo di corrente lenta del tipo F1 nel caso fluviale o di tipo T1 nel caso torrentizio; a valle si realizza un profilo di corrente veloce del tipo F3 nel caso fluviale o di tipo T3 nel caso torrentizio.
Nel caso fluviale, figura 4.17a
, a monte del tronco a sezione ridotta si instaura un profilo F1 che si raccorda gradualmente con il profilo di moto uniforme. A valle del restringimento il profilo di corrente veloce F3 si raccorda con il moto uniforme per mezzo di un risalto. Dal punto di vista energetico, figura 4.17b
, la corrente assume il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata nel tronco ristretto; in assenza di dissipazioni tale carico specifico si conserva nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del tratto a sezione ridotta. Si noti che lungo il profilo F1 la corrente aumenta il carico specifico, l’eccesso di carico rispetto a quello di moto uniforme viene poi dissipato a valle del restringimento principalmente mediante il risalto.
Nel caso torrentizio, figura 4.18a,b
, subito a monte del ponte si instaura un profilo di corrente lenta T1 che si raccorda con la corrente veloce in moto uniforme da monte mediante un risalto; a valle del ponte il profilo di corrente veloce T3 si raccorda gradualmente con il profilo di moto uniforme.
Figura 4.17 a,b – Il passaggio attraverso le pile di un ponte, restringimento ‘forte’ in alveo fluviale
Figura 4.18 a,b – Il passaggio attraverso le pile di un ponte, restringimento ‘forte’ in un alveo torrentizio
Il deflusso di una corrente sopra una traversa dipende, per assegnata portata, dal tipo di alveo (fluviale, torrentizio) e dalle dimensioni della soglia. Lo studio viene affrontato in assenza di controlli al contorno del tratto in esame. Occorre distinguere due sottocasi.
i) Il caso della traversa a soglia ‘bassa’
La soglia può ritenersi bassa se la corrente è in grado di defluire su di essa senza attraversare lo stato critico. La corrente si presenta sulla soglia in moto uniforme con carico specifico Eu. Applicando il teorema di Bernoulli, nell’ipotesi di trascurare le perdite di carico che la corrente subisce nel tratto a valle della soglia dove si ha rallentamento della corrente, il carico specifico sulla traversa Et risulta:
Et=Eu-a
dove a indica l’altezza della soglia.
Se l’altezza della soglia è ‘rilevante’ può accadere che Et risulti inferiore all’energia minima necessaria per il passaggio della portata assegnata, in tal caso la soglia viene definita ‘alta’.
Affinché la soglia sia ‘bassa’ deve perciò essere verificata la seguente condizione:
Nel caso di alveo fluviale e soglia ‘bassa’ la corrente si mantiene ovunque lenta e si deprime soltanto in corrispondenza della soglia (figura 4.19a,c
)
Nel caso di alveo torrentizio la corrente sperimenta un innalzamento del livello sulla soglia mantenendosi in corrente veloce (figura 4.19b,c).
ii) Il caso della traversa a soglia ‘alta’
In analogia con quanto visto nel caso del passaggio tra le pile del ponte, la corrente deve risparmiare energia affinché riesca ad attraversare l’ostacolo con la minima energia necessaria per il transito dell’assegnata portata Q. La corrente sperimenta un innalzamento dei livelli a monte dell’ostacolo, a cui segue il passaggio attraverso lo stato critico sulla soglia.
Nel caso fluviale (figura 4.20) la corrente dà luogo a un profilo F1 a monte della soglia che si raccorda gradualmente con il moto uniforme a monte. A valle della soglia si instaura un profilo di corrente veloce F3 che si raccorda con il profilo di corrente lenta del moto uniforme a mezzo di un risalto. Si noti che, procedendo verso valle, la corrente aumenta il carico specifico lungo il profilo F1fino a che questo non risulti appena sufficiente per consentire il passaggio della portata assegnata sulla soglia. Una volta superato l’ostacolo la corrente dissipa l’eccesso energetico principalmente a mezzo di un risalto.
Nel caso torrentizio (figura 4.21) la presenza della soglia ‘alta’ dà luogo ad profilo di corrente lenta T1 a monte dell’ostacolo che si raccorda con il moto uniforme di corrente veloce proveniente da monte mediante un risalto. A valle si instaura un profilo di corrente veloce T3 che si raccorda gradualmente con il moto uniforme.
Figura 4.19 a,b,c – Il passaggio della corrente sopra una traversa, soglia ‘bassa’
Figura 4.20 a,b – Il passaggio sopra una traversa, soglia ‘alta’ in un alveo fluviale
Figura 4.21 a,b – Il passaggio sopra una traversa, soglia ‘alta’ in un alveo torrentizio
I seguenti video didattici mostrano l’influenza di una soglia sul deflusso della corrente anche nel caso più generale di presenza di trasporto solido.
Video - Passaggio di una corrente sopra una soglia di fondo
Video - Passaggio di una corrente sopra una soglia di fondo ed interazione con il trasporto solido
